The original version of this story appeared in Quanta Magazine.
Calculus is a powerful mathematical tool. But for hundreds of years after its invention in the 17th century, it stood on a shaky foundation. Its core concepts were rooted in intuition and informal arguments, rather than precise, formal definitions.
Two schools of thought emerged in response, according to Michael Barany, a historian of math and science at the University of Edinburgh. French mathematicians were by and large content to keep going. They were more concerned with applying calculus to problems in physics—using it to compute the trajectories of planets, for instance, or to study the behavior of electric currents. But by the 19th century, German mathematicians had begun to tear things down. They set out to find counterexamples that would undermine long-held assumptions, and eventually used those counterexamples to put calculus on more stable and durable footing.
One of these mathematicians was Karl Weierstrass. Though he showed an early aptitude for math, his father pressured him to study public finance and administration, with an eye toward joining the Prussian civil service. Bored with his university coursework, Weierstrass is said to have spent most of his time drinking and fencing; in the late 1830s, after failing to get his degree, he became a secondary school teacher, giving lessons in everything from math and physics to penmanship and gymnastics.
Weierstrass didn’t begin his career as a professional mathematician until he was nearly 40. But he would go on to transform the field by introducing a mathematical monster.
The Pillars of Calculus
In 1872, Weierstrass published a function that threatened everything mathematicians thought they understood about calculus. He was met with indifference, anger, and fear, particularly from the mathematical giants of the French school of thought. Henri Poincaré condemned Weierstrass’ function as “an outrage against common sense.” Charles Hermite called it a “deplorable evil.”
To understand why Weierstrass’ result was so unnerving, it helps to first understand two of the most fundamental concepts in calculus: continuity and differentiability.
A continuous function is exactly what it sounds like—a function that has no gaps or jumps. You can trace a path from any point on such a function to any other without lifting your pencil.
Calculus is in large part about determining how quickly such continuous functions change. It works, loosely speaking, by approximating a given function with straight, nonvertical lines.
Illustration: Mark Belan/Quanta Magazine
sobat, pencinta slot! pernahkah mendengar semboyan “slot demo” Kalau? belum siap-siap, cinta jatuh program sama slot demo ini. adalah slot mesin sering yang memberi win Ya. mesin-mesin, dikatakan ini bisa adalah jagoannya buat membawa pulang cuan. any way cemana,
tekniknya sih nemuin slot gacor tepat yang Tenang? Bro and Sis beri, kita tenang aja di tempat ini Gaming
tergaco waktu ini hanya satu berada yaitu Indonesia yang menyediakan return terbesar Daftarkanlah
hanya di di:
Informasi mengenai KING SLOT, Segera Daftar Bersama king selot terbaik dan terpercaya no satu di Indonesia. Boleh mendaftar melalui sini king slot serta memberikan hasil kembali yang paling tinggi saat sekarang ini hanyalah KING SLOT paling gacor, gilak dan gaco saat sekarang di Indonesia melalui program return tinggi di kingselot serta pg king slot
sewaapartemen permainan paling top dan garansi imbal balik hasil besar bersama https://sewaapartemen.org/
pipapvc permainan paling top dan garansi imbal balik hasil besar bersama https://pipapvc.org/
pialaeropa2028 permainan paling top dan garansi imbal balik hasil besar bersama https://pialaeropa2028.net/
pialadunia2026 permainan paling top dan garansi imbal balik hasil besar bersama https://pialadunia2026.asia/
bahanbangunan permainan paling top dan garansi imbal balik hasil besar bersama https://bahanbangunan.org/
gemini999 permainan paling top dan garansi imbal balik hasil besar bersama https://gemini999.org/
havana888 permainan paling top dan garansi imbal balik hasil besar bersama https://havana888.net/
indonesia88 permainan paling top dan garansi imbal balik hasil besar bersama https://indonesia88.info/
inspirasi permainan paling top dan garansi imbal balik hasil besar bersama https://inspirasi.info/
jokiwin88 permainan paling top dan garansi imbal balik hasil besar bersama https://jokiwin88.org/
oli88 permainan paling top dan garansi imbal balik hasil besar bersama https://oli88.org/
situs88 permainan paling top dan garansi imbal balik hasil besar bersama https://situs88.asia/
transfermarkt88 permainan paling top dan garansi imbal balik hasil besar bersama https://transfermarkt88.com/
rossi46 permainan paling top dan garansi imbal balik hasil besar bersama https://rossi46.com/
pecco88 permainan paling top dan garansi imbal balik hasil besar bersama https://pecco88.com/
pecco permainan paling top dan garansi imbal balik hasil besar bersama https://pecco.asia/
pangkas permainan paling top dan garansi imbal balik hasil besar bersama https://pangkas.net/
facebook88 permainan paling top dan garansi imbal balik hasil besar bersama https://facebook88.com/
depo88 permainan paling top dan garansi imbal balik hasil besar bersama https://depo88.asia/
bajaringan88 permainan paling top dan garansi imbal balik hasil besar bersama https://bajaringan88.com/
baja ringan permainan paling top dan garansi imbal balik hasil besar bersama https://bajaringan.asia/
tradingview88 permainan paling top dan garansi imbal balik hasil besar bersama https://tradingview88.com/
trading88 permainan paling top dan garansi imbal balik hasil besar bersama https://trading88.org/
tokopedia88 permainan paling top dan garansi imbal balik hasil besar bersama https://tokopedia88.net/
kualifikasi permainan paling top dan garansi imbal balik hasil besar bersama https://kualifikasi.net/
grosirboneka permainan paling top dan garansi imbal balik hasil besar bersama https://grosirboneka.net/
situsgacor permainan paling top dan garansi imbal balik hasil besar bersama https://situsgacor.news/
prediksi88 permainan paling top dan garansi imbal balik hasil besar bersama https://prediksi88.biz/
keramat88 permainan paling top dan garansi imbal balik hasil besar bersama https://keramat88.biz/
cnn88 permainan paling top dan garansi imbal balik hasil besar bersama https://cnn88.asia/
cnbc88 permainan paling top dan garansi imbal balik hasil besar bersama https://cnbc88.com/
bloomberg88 permainan paling top dan garansi imbal balik hasil besar bersama https://bloomberg88.com/
antibocor88 permainan paling top dan garansi imbal balik hasil besar bersama https://antibocor88.com/
buku88 permainan paling top dan garansi imbal balik hasil besar bersama https://buku88.org/
dukun88 permainan paling top dan garansi imbal balik hasil besar bersama https://dukun88.info/
indodax88 permainan paling top dan garansi imbal balik hasil besar bersama https://indodax88.net/
investing88 permainan paling top dan garansi imbal balik hasil besar bersama https://investing88.net/
makanan88 permainan paling top dan garansi imbal balik hasil besar bersama https://makanan88.net/
pakaian88 permainan paling top dan garansi imbal balik hasil besar bersama https://pakaian88.com/
rambo88 permainan paling top dan garansi imbal balik hasil besar bersama https://rambo88.info/
santet88 permainan paling top dan garansi imbal balik hasil besar bersama https://santet88.net/
sekolah88 permainan paling top dan garansi imbal balik hasil besar bersama https://sekolah88.org/
uno88 permainan paling top dan garansi imbal balik hasil besar bersama https://uno88.info/
starlink88 permainan paling top dan garansi imbal balik hasil besar bersama https://starlink88.org/
solitaire88 permainan paling top dan garansi imbal balik hasil besar bersama https://solitaire88.net/
roblox88 permainan paling top dan garansi imbal balik hasil besar bersama https://roblox88.org/
pubg88 permainan paling top dan garansi imbal balik hasil besar bersama https://pubg88.info/
motogp88 permainan paling top dan garansi imbal balik hasil besar bersama https://motogp88.net/
motivasi88 permainan paling top dan garansi imbal balik hasil besar bersama https://motivasi88.com/
mobilelegends88 permainan paling top dan garansi imbal balik hasil besar bersama https://mobilelegends88.com/
ludoking permainan paling top dan garansi imbal balik hasil besar bersama https://ludoking.asia/
kucing88 permainan paling top dan garansi imbal balik hasil besar bersama https://kucing88.asia/
kucing permainan paling top dan garansi imbal balik hasil besar bersama https://kucing.info/
klasmen88 permainan paling top dan garansi imbal balik hasil besar bersama https://klasmen88.com/
imdb88 permainan paling top dan garansi imbal balik hasil besar bersama https://imdb88.net/
higgsdomino permainan paling top dan garansi imbal balik hasil besar bersama https://higgsdomino.biz/
gmail88 permainan paling top dan garansi imbal balik hasil besar bersama https://gmail88.org/
gmail88 permainan paling top dan garansi imbal balik hasil besar bersama https://gmail88.net/
chess88 permainan paling top dan garansi imbal balik hasil besar bersama https://chess88.info/
callofduty88 permainan paling top dan garansi imbal balik hasil besar bersama https://callofduty88.com/
semen88 permainan paling top dan garansi imbal balik hasil besar bersama https://semen88.com/
seluler88 permainan paling top dan garansi imbal balik hasil besar bersama https://seluler88.com/
ram88 permainan paling top dan garansi imbal balik hasil besar bersama https://ram88.net/
pasir88 permainan paling top dan garansi imbal balik hasil besar bersama https://pasir88.asia/
papan88 permainan paling top dan garansi imbal balik hasil besar bersama https://papan88.info/
komputer88 permainan paling top dan garansi imbal balik hasil besar bersama https://komputer88.net/
kayu88 permainan paling top dan garansi imbal balik hasil besar bersama https://kayu88.info/
kabel88 permainan paling top dan garansi imbal balik hasil besar bersama https://kabel88.net/
gaming88 permainan paling top dan garansi imbal balik hasil besar bersama https://gaming88.asia/
games88 permainan paling top dan garansi imbal balik hasil besar bersama https://games88.info/
beton88 permainan paling top dan garansi imbal balik hasil besar bersama https://beton88.lat/
teknis88 permainan paling top dan garansi imbal balik hasil besar bersama https://teknis88.com/
sarana88 permainan paling top dan garansi imbal balik hasil besar bersama https://sarana88.info/
arena88 permainan paling top dan garansi imbal balik hasil besar bersama https://arena88.asia/
viral888 permainan paling top dan garansi imbal balik hasil besar bersama https://viral888.asia/
usdt88 permainan paling top dan garansi imbal balik hasil besar bersama https://usdt88.net/
uang88 permainan paling top dan garansi imbal balik hasil besar bersama https://uang88.asia/
twitter88 permainan paling top dan garansi imbal balik hasil besar bersama https://twitter88.asia/
tahanlama88 permainan paling top dan garansi imbal balik hasil besar bersama https://tahanlama88.com/
suka88 permainan paling top dan garansi imbal balik hasil besar bersama https://suka88.biz/
sekali88 permainan paling top dan garansi imbal balik hasil besar bersama https://sekali88.org/
plafonpvc permainan paling top dan garansi imbal balik hasil besar bersama https://plafonpvc.net/
pinjol88 permainan paling top dan garansi imbal balik hasil besar bersama https://pinjol88.asia/
mpox88 permainan paling top dan garansi imbal balik hasil besar bersama https://mpox88.com/
daun88 permainan paling top dan garansi imbal balik hasil besar bersama https://daun88.asia/
wordpress88 permainan paling top dan garansi imbal balik hasil besar bersama https://wordpress88.net/
whatsapp88 permainan paling top dan garansi imbal balik hasil besar bersama https://whatsapp88.net/
wechat88 permainan paling top dan garansi imbal balik hasil besar bersama https://wechat88.net/
telegram88 permainan paling top dan garansi imbal balik hasil besar bersama https://telegram88.org/
super888 permainan paling top dan garansi imbal balik hasil besar bersama https://super888.asia/
skype88 permainan paling top dan garansi imbal balik hasil besar bersama https://skype88.com/
racing88 permainan paling top dan garansi imbal balik hasil besar bersama https://racing88.asia/
pupuk88 permainan paling top dan garansi imbal balik hasil besar bersama https://pupuk88.net/
petani888 permainan paling top dan garansi imbal balik hasil besar bersama https://petani888.org/
pabrik88 permainan paling top dan garansi imbal balik hasil besar bersama https://pabrik88.asia/
organik88 permainan paling top dan garansi imbal balik hasil besar bersama https://organik88.com/
online77 permainan paling top dan garansi imbal balik hasil besar bersama https://online77.info/
ojek88 permainan paling top dan garansi imbal balik hasil besar bersama https://ojek88.info/
nostalgia88 permainan paling top dan garansi imbal balik hasil besar bersama https://nostalgia88.com/
michat permainan paling top dan garansi imbal balik hasil besar bersama https://michat.info/
