In other words, Hilbert’s 10th problem is undecidable.
Mathematicians hoped to follow the same approach to prove the extended, rings-of-integers version of the problem—but they hit a snag.
Gumming Up the Works
The useful correspondence between Turing machines and Diophantine equations falls apart when the equations are allowed to have non-integer solutions. For instance, consider again the equation y = x2. If you’re working in a ring of integers that includes √2, then you’ll end up with some new solutions, such as x = √2, y = 2. The equation no longer corresponds to a Turing machine that computes perfect squares—and, more generally, the Diophantine equations can no longer encode the halting problem.
But in 1988, a graduate student at New York University named Sasha Shlapentokh started to play with ideas for how to get around this problem. By 2000, she and others had formulated a plan. Say you were to add a bunch of extra terms to an equation like y = x2 that magically forced x to be an integer again, even in a different number system. Then you could salvage the correspondence to a Turing machine. Could the same be done for all Diophantine equations? If so, it would mean that Hilbert’s problem could encode the halting problem in the new number system.
Illustration: Myriam Wares for Quanta Magazine
Over the years, Shlapentokh and other mathematicians figured out what terms they had to add to the Diophantine equations for various kinds of rings, which allowed them to demonstrate that Hilbert’s problem was still undecidable in those settings. They then boiled down all remaining rings of integers to one case: rings that involve the imaginary number i. Mathematicians realized that in this case, the terms they’d have to add could be determined using a special equation called an elliptic curve.
But the elliptic curve would have to satisfy two properties. First, it would need to have infinitely many solutions. Second, if you switched to a different ring of integers—if you removed the imaginary number from your number system—then all the solutions to the elliptic curve would have to maintain the same underlying structure.
As it turned out, building such an elliptic curve that worked for every remaining ring was an extremely subtle and difficult task. But Koymans and Pagano—experts on elliptic curves who had worked closely together since they were in graduate school—had just the right tool set to try.
Sleepless Nights
Since his time as an undergraduate, Koymans had been thinking about Hilbert’s 10th problem. Throughout graduate school, and throughout his collaboration with Pagano, it beckoned. “I spent a few days every year thinking about it and getting horribly stuck,” Koymans said. “I’d try three things and they’d all blow up in my face.”
In 2022, while at a conference in Banff, Canada, he and Pagano ended up chatting about the problem. They hoped that together, they could build the special elliptic curve needed to resolve the problem. After finishing some other projects, they got to work.
sobat, pengemar slots pernahkah mendengar semboyan “slot demo” Kalau? tidak siap-siap, cinta jatuh program sama slot gacor ini. adalah slot mesin sering yang memberi win Yup. slot-slot, dibilang ini bisa adalah jagoannya tuk membawa pulang cuan. tapi cemana,
tekniknya sih jumpain slot demo benar yang Tenang? Bro and Sis beri, kita tenang saja di tempat ini Game
terbaik waktu sekarang satu-satunya berada hanya di Indonesia akan memberikan imbal hasil tertinggi Daftar
di hanya di:
Informasi mengenai KING SLOT, Segera Daftar Bersama king selot terbaik dan terpercaya no satu di Indonesia. Boleh mendaftar melalui sini king slot serta memberikan hasil kembali yang paling tinggi saat sekarang ini hanyalah KING SLOT paling gacor, gilak dan gaco saat sekarang di Indonesia melalui program return tinggi di kingselot serta pg king slot
sewaapartemen permainan paling top dan garansi imbal balik hasil besar bersama https://sewaapartemen.org/
pipapvc permainan paling top dan garansi imbal balik hasil besar bersama https://pipapvc.org/
pialaeropa2028 permainan paling top dan garansi imbal balik hasil besar bersama https://pialaeropa2028.net/
pialadunia2026 permainan paling top dan garansi imbal balik hasil besar bersama https://pialadunia2026.asia/
bahanbangunan permainan paling top dan garansi imbal balik hasil besar bersama https://bahanbangunan.org/
gemini999 permainan paling top dan garansi imbal balik hasil besar bersama https://gemini999.org/
havana888 permainan paling top dan garansi imbal balik hasil besar bersama https://havana888.net/
indonesia88 permainan paling top dan garansi imbal balik hasil besar bersama https://indonesia88.info/
inspirasi permainan paling top dan garansi imbal balik hasil besar bersama https://inspirasi.info/
jokiwin88 permainan paling top dan garansi imbal balik hasil besar bersama https://jokiwin88.org/
oli88 permainan paling top dan garansi imbal balik hasil besar bersama https://oli88.org/
situs88 permainan paling top dan garansi imbal balik hasil besar bersama https://situs88.asia/
transfermarkt88 permainan paling top dan garansi imbal balik hasil besar bersama https://transfermarkt88.com/
rossi46 permainan paling top dan garansi imbal balik hasil besar bersama https://rossi46.com/
pecco88 permainan paling top dan garansi imbal balik hasil besar bersama https://pecco88.com/
pecco permainan paling top dan garansi imbal balik hasil besar bersama https://pecco.asia/
pangkas permainan paling top dan garansi imbal balik hasil besar bersama https://pangkas.net/
facebook88 permainan paling top dan garansi imbal balik hasil besar bersama https://facebook88.com/
depo88 permainan paling top dan garansi imbal balik hasil besar bersama https://depo88.asia/
bajaringan88 permainan paling top dan garansi imbal balik hasil besar bersama https://bajaringan88.com/
baja ringan permainan paling top dan garansi imbal balik hasil besar bersama https://bajaringan.asia/
tradingview88 permainan paling top dan garansi imbal balik hasil besar bersama https://tradingview88.com/
trading88 permainan paling top dan garansi imbal balik hasil besar bersama https://trading88.org/
tokopedia88 permainan paling top dan garansi imbal balik hasil besar bersama https://tokopedia88.net/
kualifikasi permainan paling top dan garansi imbal balik hasil besar bersama https://kualifikasi.net/
grosirboneka permainan paling top dan garansi imbal balik hasil besar bersama https://grosirboneka.net/
situsgacor permainan paling top dan garansi imbal balik hasil besar bersama https://situsgacor.news/
prediksi88 permainan paling top dan garansi imbal balik hasil besar bersama https://prediksi88.biz/
keramat88 permainan paling top dan garansi imbal balik hasil besar bersama https://keramat88.biz/
cnn88 permainan paling top dan garansi imbal balik hasil besar bersama https://cnn88.asia/
cnbc88 permainan paling top dan garansi imbal balik hasil besar bersama https://cnbc88.com/
bloomberg88 permainan paling top dan garansi imbal balik hasil besar bersama https://bloomberg88.com/
antibocor88 permainan paling top dan garansi imbal balik hasil besar bersama https://antibocor88.com/
buku88 permainan paling top dan garansi imbal balik hasil besar bersama https://buku88.org/
dukun88 permainan paling top dan garansi imbal balik hasil besar bersama https://dukun88.info/
indodax88 permainan paling top dan garansi imbal balik hasil besar bersama https://indodax88.net/
investing88 permainan paling top dan garansi imbal balik hasil besar bersama https://investing88.net/
makanan88 permainan paling top dan garansi imbal balik hasil besar bersama https://makanan88.net/
pakaian88 permainan paling top dan garansi imbal balik hasil besar bersama https://pakaian88.com/
rambo88 permainan paling top dan garansi imbal balik hasil besar bersama https://rambo88.info/
santet88 permainan paling top dan garansi imbal balik hasil besar bersama https://santet88.net/
sekolah88 permainan paling top dan garansi imbal balik hasil besar bersama https://sekolah88.org/
uno88 permainan paling top dan garansi imbal balik hasil besar bersama https://uno88.info/
starlink88 permainan paling top dan garansi imbal balik hasil besar bersama https://starlink88.org/
solitaire88 permainan paling top dan garansi imbal balik hasil besar bersama https://solitaire88.net/
roblox88 permainan paling top dan garansi imbal balik hasil besar bersama https://roblox88.org/
pubg88 permainan paling top dan garansi imbal balik hasil besar bersama https://pubg88.info/
motogp88 permainan paling top dan garansi imbal balik hasil besar bersama https://motogp88.net/
motivasi88 permainan paling top dan garansi imbal balik hasil besar bersama https://motivasi88.com/
mobilelegends88 permainan paling top dan garansi imbal balik hasil besar bersama https://mobilelegends88.com/
ludoking permainan paling top dan garansi imbal balik hasil besar bersama https://ludoking.asia/
kucing88 permainan paling top dan garansi imbal balik hasil besar bersama https://kucing88.asia/
kucing permainan paling top dan garansi imbal balik hasil besar bersama https://kucing.info/
klasmen88 permainan paling top dan garansi imbal balik hasil besar bersama https://klasmen88.com/
imdb88 permainan paling top dan garansi imbal balik hasil besar bersama https://imdb88.net/
higgsdomino permainan paling top dan garansi imbal balik hasil besar bersama https://higgsdomino.biz/
gmail88 permainan paling top dan garansi imbal balik hasil besar bersama https://gmail88.org/
gmail88 permainan paling top dan garansi imbal balik hasil besar bersama https://gmail88.net/
chess88 permainan paling top dan garansi imbal balik hasil besar bersama https://chess88.info/
callofduty88 permainan paling top dan garansi imbal balik hasil besar bersama https://callofduty88.com/
semen88 permainan paling top dan garansi imbal balik hasil besar bersama https://semen88.com/
seluler88 permainan paling top dan garansi imbal balik hasil besar bersama https://seluler88.com/
ram88 permainan paling top dan garansi imbal balik hasil besar bersama https://ram88.net/
pasir88 permainan paling top dan garansi imbal balik hasil besar bersama https://pasir88.asia/
papan88 permainan paling top dan garansi imbal balik hasil besar bersama https://papan88.info/
komputer88 permainan paling top dan garansi imbal balik hasil besar bersama https://komputer88.net/
kayu88 permainan paling top dan garansi imbal balik hasil besar bersama https://kayu88.info/
kabel88 permainan paling top dan garansi imbal balik hasil besar bersama https://kabel88.net/
gaming88 permainan paling top dan garansi imbal balik hasil besar bersama https://gaming88.asia/
games88 permainan paling top dan garansi imbal balik hasil besar bersama https://games88.info/
beton88 permainan paling top dan garansi imbal balik hasil besar bersama https://beton88.lat/
teknis88 permainan paling top dan garansi imbal balik hasil besar bersama https://teknis88.com/
sarana88 permainan paling top dan garansi imbal balik hasil besar bersama https://sarana88.info/
arena88 permainan paling top dan garansi imbal balik hasil besar bersama https://arena88.asia/
viral888 permainan paling top dan garansi imbal balik hasil besar bersama https://viral888.asia/
usdt88 permainan paling top dan garansi imbal balik hasil besar bersama https://usdt88.net/
uang88 permainan paling top dan garansi imbal balik hasil besar bersama https://uang88.asia/
twitter88 permainan paling top dan garansi imbal balik hasil besar bersama https://twitter88.asia/
tahanlama88 permainan paling top dan garansi imbal balik hasil besar bersama https://tahanlama88.com/
suka88 permainan paling top dan garansi imbal balik hasil besar bersama https://suka88.biz/
sekali88 permainan paling top dan garansi imbal balik hasil besar bersama https://sekali88.org/
plafonpvc permainan paling top dan garansi imbal balik hasil besar bersama https://plafonpvc.net/
pinjol88 permainan paling top dan garansi imbal balik hasil besar bersama https://pinjol88.asia/
mpox88 permainan paling top dan garansi imbal balik hasil besar bersama https://mpox88.com/
daun88 permainan paling top dan garansi imbal balik hasil besar bersama https://daun88.asia/
wordpress88 permainan paling top dan garansi imbal balik hasil besar bersama https://wordpress88.net/
whatsapp88 permainan paling top dan garansi imbal balik hasil besar bersama https://whatsapp88.net/
wechat88 permainan paling top dan garansi imbal balik hasil besar bersama https://wechat88.net/
telegram88 permainan paling top dan garansi imbal balik hasil besar bersama https://telegram88.org/
super888 permainan paling top dan garansi imbal balik hasil besar bersama https://super888.asia/
skype88 permainan paling top dan garansi imbal balik hasil besar bersama https://skype88.com/
racing88 permainan paling top dan garansi imbal balik hasil besar bersama https://racing88.asia/
pupuk88 permainan paling top dan garansi imbal balik hasil besar bersama https://pupuk88.net/
petani888 permainan paling top dan garansi imbal balik hasil besar bersama https://petani888.org/
pabrik88 permainan paling top dan garansi imbal balik hasil besar bersama https://pabrik88.asia/
organik88 permainan paling top dan garansi imbal balik hasil besar bersama https://organik88.com/
online77 permainan paling top dan garansi imbal balik hasil besar bersama https://online77.info/
ojek88 permainan paling top dan garansi imbal balik hasil besar bersama https://ojek88.info/
nostalgia88 permainan paling top dan garansi imbal balik hasil besar bersama https://nostalgia88.com/
michat permainan paling top dan garansi imbal balik hasil besar bersama https://michat.info/
